| СОВЕТЫ ЗАНИМАЮЩИМСЯ| калькулятор уравнений | Тригонометрический калькулятор | Тригонометрические таблицы | Пирамида | Вес и объем | Перпендикуляр, наклонная, проекция | Поперечный масштабд | Многоугольники | Квадраты | Приближенные числа |
  • Sitemap
  • Contact
  • СОВЕТЫ ЗАНИМАЮЩИМСЯ
  • ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
  • § 9. Противоположные углы
  • § 10. Окружность
  • § 11. Пересечение окружности с прямою и с другою окружностью
  • § 12. Измерение углов
  • § 13. Параллельные прямые. Углы при них
  • § 14. Углы с параллельными сторонами
  • § 15. Сумма углов треугольника Предварительные упражнения
  • § 16. Следствия предыдущего параграфа
  • § 17. Как построить треугольник по трем сторонам
  • § 18. Как построить угол, равный данному
  • Первый концентр
  • § 19. Как разделить угол пополам
  • § 20. Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними
  • § 21. Как разделить отрезок пополам
  • § 22. Как построить треугольник по стороне и двум углам
  • § 23. Параллелограммы
  • Технологии обучения на уроках математики
  • § 85. Таблица тангенсов и котангенсов

    Таблица тангенсов и котангенсов

    Чтобы успешно применять на практике понятия тангенса и котангенса, необходимо уметь отыскивать в таблице тангенсы и котангенсы различных углов, а также и наоборот – подыскивать угол, если известен его тангенс или котангенс.

    Пусть требуется найти в таблице tg24°. Против числа 24 левой колонки находим в графе «tg» (вверху) число 0,45; это и есть tg24° (на графы sin и cos пока не будем обращать внимания).

    Так же просто отыскивать в таблице тангенсы всех углов от 1 с до 45°. Тангенсы углов от 45° до 89° находят несколько иначе. Например, tg57° ищем в графе «tg», направляясь снизу, и находим его против числа 57° правой колонки: 1,54 (в то же время 1,54 – это cotg33°, потому что 33 = 90° – 57°).

    Сходным образом находим котангенсы и других углов, выражающихся целым числом градусов.

    Чтобы найти tg угла, не выражающегося целым числом градусов, надо произвести маленькое дополнительное вычисление. Найдем, например, tg38°40’. Отыскиваем tg38° и tg39°.

    tg38° = 0,78, tg39° = 0,81

    Разница в 1° или 60’, обусловила, мы видим, увеличение тангенса на 0,03. Для небольшой разницы в углах можно считать. что разность тангенсов (и котангенсов) пропорциональна разности углов, т. е., что

    Откуда:

    tg38°40? – 0,78 = 0,03 ?2/3= 0,02

    tg38°40? = 0,78 – 0,03 = 0,80.

    Итак, мы отыскали tg нужного нам угла, хотя прямо в таблице он не помещен.

    Таким же образом находим:

    tg 76°24? = 4,01 + 0,32 ?24/60 = 4,14

    cotg[11]21°14? = 2,61 – 0,13 ?14/60 = 2,58

     

    Обратно: нахождение угла, которого tg или cotg известен в случае, когда данная величина tgили cotgимеется в таблице, – не требует пояснений. Например, угол, tg которого 0,27, есть 15°; угол, cotgкоторого 0,78, есть 52° и т. п. Если же данного tg или cotg в таблице нет, требуется дополнительное вычисление. Пусть, например, мы имеем угол, cotg которого =2, 19. Имеющийся в таблице cotg ближайшего меньшего[12] угла есть 2,25, отличающийся от данного на 0,06. Разность же между этим углом и ближайшим большим, имеющимся в таблице (2,14), равна 11. Подобно предыдущему, составляем пропорцию

    И, следовательно, неизв. угол = 66°33’ (с округлением 66°30’).

    Таким же образом найдем, что угол, тангенс которого 0,86, равен 40°+ 60 ?2/3= 40°40’ и т. п.

    (В виду малой точности таблиц, числа минут надо округлять до целых десятков).

    Применения

    Рассмотрим теперь несколько задач, при решении которых применяется таблица тангенсов и котангенсов (такие вычисления называются т р и г о н о м е т р и ч е с к и м и).

    104. Найти величину острых углов треугольника, катеты которого 16 см и 23 см.

    Р е ш е н и е. Тангенс меньшего из искомых углов (черт. 231)

    откуда (по таблице) искомый угол x = 34°20’.

    105. Телеграфный столб 8 м высоты отбрасывает тень длиною 13,5 м. Под каким углом лучи солнца встречают землю?

    Р е ш е н и е сводится, очевидно, к нахождению угла, tg которого = 8/13,5 =0,52

     

    106. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, имеет длину 62 см и делит противолежащую сторону на отрезки, длина которых 38 см и 29 см. Найти углы треугольника.

    Р е ш е н и е. Сначала находим (черт. 232) величину угла A, tg которого 16/29; затем величину угла C, tg которого 16/38

    (как найти третий угол?).

     

    107. Острый угол прямоугольного треугольника 48°, прилежащий катет – 83 см. Найти другой катет.

    Р е ш е н и е (черт. 231). Если угол А – 48°, а АВ – 83 см, то

    BC/AB = BC/83 = tgA= tg48° = 1,11,

    откуда

    ВС = 83 ? 1,11 = 92.

    108. Найти сторону правильного 12-угольника, описанного около круга, радиус которого 80 см.

    Р е ш е н и е (черт. 233). Если сторона 12-угольника АВ, то, соединив концы ее с центром О, получаем равнобедренный треугольник, угол при вершине которого 360°/12=30°.

    Проведя OD перпендикулярно к AB, имеем прямоугольный треугольник AOD, в котором катет AD = ?АВ (почему?).

    Далее:

    AD/OD=AD/80 = tg15°=0,26

    откуда:

    AD= 0,26 80 = 21,

    АВ = 2AD= 42.

    Итак, искомая сторона 12-угольника 42 см.

    СОВЕТЫ   Тригонометрические таблицы   Пирамида   Объем и вес   Перпендикуляр, наклонная, проекция   Поперечный масштаб   Многоугольники   Таблица синусов   Объем и вес   Цилиндр   Таблица косинусов и синусов   Средняя линия трапеции