| СОВЕТЫ ЗАНИМАЮЩИМСЯ| калькулятор уравнений | Тригонометрический калькулятор | Тригонометрические таблицы | Пирамида | Вес и объем | Перпендикуляр, наклонная, проекция | Поперечный масштабд | Многоугольники | Квадраты | Приближенные числа |
  • Sitemap
  • Contact
  • СОВЕТЫ ЗАНИМАЮЩИМСЯ
  • ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
  • § 9. Противоположные углы
  • § 10. Окружность
  • § 11. Пересечение окружности с прямою и с другою окружностью
  • § 12. Измерение углов
  • § 13. Параллельные прямые. Углы при них
  • § 14. Углы с параллельными сторонами
  • § 15. Сумма углов треугольника Предварительные упражнения
  • § 16. Следствия предыдущего параграфа
  • § 17. Как построить треугольник по трем сторонам
  • § 18. Как построить угол, равный данному
  • Первый концентр
  • § 19. Как разделить угол пополам
  • § 20. Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними
  • § 21. Как разделить отрезок пополам
  • § 22. Как построить треугольник по стороне и двум углам
  • § 23. Параллелограммы
  • Технологии обучения на уроках математики
  • § 31. Прямоугольный параллелепипед

    Куб может служить примером тел, которые в математике называются «прямоугольными параллелепипедами». Прямоугольный параллелепипед, это – тело, имеющее форму прямоугольного ящика или бруса; оно ограничено 6-ю п р я м о у г о л ь н и к а м и; противоположные грани его параллельны и равны (черт. 100).

    Часто нужно бывает определить, как велик объем прямоугольного параллелепипеда, – например, узнать вместимость ящика, «кубатуру» комнаты, объем бруса и т. п. Единицею меры для объемов служит объем такого куба, ребро которого равно 1 см, 1 м, – вообще какой-нибудь единице длины («линейной» единице). Такая единица меры называется «кубическим сантиметром», «кубическим метром» и т. п. – в зависимости от длины ребра кубической единицы. Подобно тому, как п л о щ а д ь фигуры можно определить, измерив лишь некоторые линии этой фигуры, так и объем многих тел возможно вычислить, если измерить некоторые их линии. Покажем, как это делается для прямоугольного параллелепипеда.

    Пусть требуется определить объем (кубатуру) комнаты (черт. 101). Измеряем линейным метром длину и ширину пола: предположим, что длина его 4 м, а ширина 3 м. Мы можем, следовательно, расчертить пол на 4 3, т. е. на 12 метровых квадратов, как показывает черт. 102. Измерим теперь высоту комнаты; пусть она равна 3 метрам. Тогда очевидно, что на каждом метровом квадрате пола можно вообразить себе квадратный столб в 3 метра высоты, т. е. составленный из 3 кубических метров (черт. 103).


    Так как всех подобных столбов 12, то в комнате поместится 12 3 = 36 кубических метров. Мы получили это число перемножением длины комнаты, ее ширины и высоты (4 3 3).

    Итак, чтобы узнать, сколько кубических метров в комнате, нужно измерить линейным метром ее длину, ширину, высоту и перемножить эти три числа.

    Сказанное относится ко всякому телу в форме прямоугольного параллелепипеда, – даже если его длина, ширина или высота содержит дробное число единиц меры. Во всех случаях -

    О б ъ е м п р я м о у г о л ь н о г о п а р а л л ел е п и п е д а р а в е н п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н ы, ш и р и н ы и

    в ы с о т ы (или, как говорят, – п р о и з в е д е н и ю т р е х е г о и з м е р е н и й). Обозначая длину параллелепипеда через а, ширину – через b, высоту – через с, имеем, что объем v параллелепипеда v = abc.

     

    Так как у куба длина, ширина и высота равны, то

    О б ъ е м к у б а р а в е н к у б у е г о р е б р а. Обозначая ребро куба через а, имеем, что объем его V = а ? а ? а = а3.

     

    Отсюда следует, что в кубическом метре 10 ? 10 ? 10 = 1000 куб. дециметров, или 100 ? 100 ? 100 = 1 000 000 куб. сантиметров, или 1000 ? 1000 ? 1000 = 1 000 000 000 куб. миллиметров.

    Для измерения весьма больших объемов (например высокой горы) употребляют кубический километр. В кубическом километре 1000 ? 1000 ? 1000 = 1 000 000 000 (миллиард) куб. метров.

    Итак:

    куб. метр = миллиону куб. см = миллиарду куб. мм.

    куб. километр = миллиарду куб. метров.

     

    Сокращенное обозначение кубических мер таково:

    куб. метр… куб. м или м3

    « дециметр. . . . . куб. дм или дм3

    « сантиметр. . . . . куб. см или см3

    « миллиметр. . . . . куб. мм или мм3

    « километр. . . . . куб. км или км3

     

    Повторительные вопросы

    Какое тело называется прямоугольным параллелепипедом? – Какие у него грани? – Есть ли у него равные ребра? – Начертите развертку прямоугольного параллелепипеда. – Какие вы знаете кубические меры? – Как вычисляется объем прямоугольного параллелепипеда? Объем куба? – Напишите формулу объема этих тел. – Каковы соотношения между кубическими мерами? Каковы их сокращенные обозначения?

     

    Применения

    28. На прямоугольное поле шириною 135 м и длиною 240 м выпало дождевой воды 3 мм. Сколько куб. метров воды выпало на все поле?

     

    Р е ш е н и е. Искомый объем равен

    135 240 ? 0,003 = 100 куб. м.

     

    29. Прямоугольный бак в 1 м ширины и 140 см длины налит водою. Когда под воду окунулся человек, уровень воды поднялся на 4 см. Как велик объем тела этого человека?

    Р е ш е н и е. Объем тела человека равен 100 ? 140 ? 4 = 60 000 куб. см.

    30. Если куб с ребром 1 см представить себе разделенным на кубики с ребром в 0,1 мм, то во сколько раз общая поверхность всех этих мелких кубиков будет больше поверхности первоначального куба?

    Р е ш е н и е. Поверхность куба с ребром 1 см равна 6 кв. см = 600 кв. мм. Поверхность кубика с ребром 0,1 мм равна 6 0,01 = 0,06 кв. мм. Число этих кубиков равно 100 ? 100 ? 100 = 1 000 000. Общая поверхность кубиков будет 0,06 ? 1 000 000 = 60 000 кв. мм, т. е. общая поверхность увеличится в 100 раз.

    СОВЕТЫ   Тригонометрические таблицы   Пирамида   Объем и вес   Перпендикуляр, наклонная, проекция   Поперечный масштаб   Многоугольники   Таблица синусов   Объем и вес   Цилиндр   Таблица косинусов и синусов   Средняя линия трапеции